σ加法族と測度の定義メモ ?は有限加法族であることを示せ

2021年3月10日 @ 6:26 PM

σ加法族と測度の定義メモ ?は有限加法族であることを示せ。?。無限集合Xの集合族?を{E?X Eが有限集合またはX Eが有限集合}とする ?は有限加法族であることを示せ また?はσ 加法族であるか
この問題の解説をお願いします σ加法族と測度の定義メモ。非負性; 測度を定義する際になんでがσ加法族であることが必要かと言うと。
測度が定義出来ないような集合非加算集合を除外したいから。このとき
∪は必ずしもσ加法族にならないことを示せ。 解Ω={,

? ∈ ? であることとE ∈ ? ? X-E ∈ ? が成り立つことは明らかです☆E?, E? ∈ ? について◆ E?, E? ともに有限集合のときE?∪E? も有限集合なので E?∪E? ∈ ? です?◆ E? が無限集合のときX-E? は有限集合であり X-E?∪E? ? X-E? なのでX-E?∪E? も有限集合となり E?∪E? ∈ ?です☆◆ E? が無限集合のとき上の議論と同様に E?∪E? ∈ ? となるので? は有限加法族であることがわかりますb^-^X は無限集合なので E = {x?, x?, x?, x?, …} という可算な無限集合 E を部分集合にもちます*^^*※ 各 xi は異なるものとしますここで En = {x[2n]} という 1 つの元からなる集合を考えるとEn は有限集合なので En ∈ ? を満たしますがE = ∪[n=1~∞]En = {x?, x?, x?, …} は無限集合でありかつ X-E ? {x?, x?, x?, …} であるため X-E も無限集合です☆よって E ? ? であり ? は σ-加法族ではありませんね*? ?????

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